EJEMPLO DE PROBLEMA RESUELTO

 

5.- Dada la función , se pide estudiar:

A)    Dominio y asíntotas.  B) Crecimiento y decrecimiento. Máximos y mínimos.

C) Concavidad y convexidad.  D) Dibujar la gráfica de f(x) y sus asíntotas.     (J-98)

 

A)    Dominio. El dominio es el conjunto de valores de la “x” que tienen imagen “y”. En este caso el dominio es todo R, al tener todas las x imagen, dadas por el producto indicado.

 

Asíntotas:

Horizontales. Son rectas de ecuación y=k siendo . Como , no hay asíntotas horizontales por la derecha.

Por otra parte,  F.I. Calcularemos este límite por L´Hôpital generalizado:

Luego la recta y=0 (eje de abscisas), es asíntota horizontal por la izquierda.

 

Verticales. Son rectas de ecuación x=k siendo . Como esto sólo sucede si  , (acabamos de ver que si , el límite es 0), no hay asíntotas verticales.

 

Oblicuas. Son rectas de ecuación y=mx+n siendo . En este caso, si  (empleando L´Hôpital de modo similar a como hicimos anteriormente, ya que al dividir entre “x” todo queda similar salvo que el polinomio pasa a ser de 2º grado. Luego no hay asíntotas oblicuas.

 

B)     Crecimiento. Estudiaremos el crecimiento a través del signo de la derivada primera.Como y´=  factorizando el polinomio tras hallar sus raíces por Ruffini y resolviendo la ecuación incompleta de 2º grado;

 

        1    -1   -1    1

1             1     0   -1

        1     0    -1    0 

  

x2-1=0 => x= 1; x= -1. Luego ex(x3-x2-x+1) = ex (x+1) (x-1)2

 

Como los factores ex y (x-1)2 son positivos, el signo de y´ coincide con el de x+1,

Por tanto f es creciente para x> -1 (derivada positiva) y decreciente para x< -1 (derivada negativa). En x= -1 hay un mínimo. No hay más extremos al no haber más cambios en el signo del crecimiento. En consecuencia Mínimo en (-1,-6,62)

 

C)    Curvatura. La estudiaremos a través del signo de la derivada segunda.

.          (Basta resolver la ecuación de 2º grado, cuyas raíces son 1 y -3).

Resulta así, teniendo en cuenta que ex >0 y multiplicando el signo de los otros 3 factores, lo siguiente: y´´>0 y, por tanto, f cóncava, en . Análogamente, y´´<0 y f convexa en . Resultan 3 puntos de inflexión en (-3,-4,4) y (1,-5,4), en los que f pasa de convexa a cóncava y en

(0,-6) en el que el cambio de curvatura es de cóncava a convexa.

 

            GRÁFICA. Con los elementos anteriores construimos la gráfica resultante: