MATRICES Y SISTEMAS

 

MATRICES

P.A.U. Cantabria

 

1.- (Cantabria, 1994) Una empresa produce dos tipos de televisores A y B . Todos se fabrican en tres terminaciones: N, L y S, a los siguientes precios, en pesetas, cada unidad:

 

    N                    L                      S

A         10000              20000              30000

B          30000              45000              60000

 

Sabiendo que por año se producen las unidades que figuran en la tabla:

 

   A                     B

N         9000                3000

L          6000                2000

S          3000                1000

 

1) Dar la información anterior en dos matrices P y Q. P será una matriz, con menor número de filas que de columnas, que suministrará la producción por año y Q una matriz, con mayor número de filas que de columnas, que suministrará información sobre los precios.

2) Calcular: P.Q y Q.P

3) ¿Qué información suministra la diagonal principal de P.Q y de Q.P?.

 

 

2.- (Cantabria, 1994) Dadas las matrices  ,  y . Se pide:

 

1º.- Obtener C + AB.

2º.- Calcular C -1+ (AB) -1  ;  (C + AB) -1.

 

3.- (Cantabria, Junio 1996) Dada la matriz .

  1. Hallar: A2, A3, A -1.
  2. Determinar si es posible, y si no lo es, justificarlo, una matriz B tal que:  
  3. Determinar si es posible, y si no lo es, justificarlo, una matriz c tal que: .

 

4.- (Cantabria,  septiembre 1997) Sea la matriz  donde y es un número entero.

 

I.                    Determinar los valores de y para los cuales la matriz A tiene inversa.

II.                 Calcula la inversa de A en estos casos.

 

5.- (Cantabria, septiembre 1999). Si X e Y son matrices que verifican el sistema

,   

Hallar X e Y.

Hallar, si es posible, X-1 e Y-1. 

 

6.- (Cantabria, junio 2001) Un importador de globos los importa de dos colores: de color naranja (N) y de color fresa (F). Todos ellos se envasan en paquetes de 2, 5 y 10 unidades, que vende a los siguientes precios:

 

 

2 unidades

5 unidades

10 unidades

Color N

4

8

12

Color F

3

5

8

 

Sabiendo que en un año vende el siguiente número de paquetes:

 

Color N

Color F

De dos unidades

700000

50000

De cinco unidades

600000

40000

De diez unidades

500000

500000

 

Se pide:

1. Resumir la información anterior en dos matrices A y B. (A será una matriz 2 x 3 que recoja las ventas en un año y B una matriz 3 x 2 que recoja los precios).

2. Calcular los elementos de la diagonal principal “A por B” y dar su significado.

3. Calcular los elementos de la diagonal principal “B por A” y dar su significado.

           

7.- (Cantabria, septiembre 2001). Sean las matrices A y B dadas a continuación:

         

Se pide:

I.                    Hallar el producto A.B.

II.                 Determina el valor o los valores de a para el que no existe inversa de A.B.

 

 

8.- (Cantabria, Junio 2002)  Dada la matriz . Se pide hallar:

1.                  (A-1)2.

2.                  (A2)-1.            

 

9.- (Cantabria, Junio 2003). Sea la matriz, .

Hallar la matriz B, tal que    

.- (Castilla - León, 1998) Sea la matriz .

 

a)                  Comprueba que A-1 = AT (AT es la matriz traspuesta de A).

b)                  Utilizando el resultado anterior, calcula (AT . A)1998.

 

 

Otras Autonomías

 

1.- (Extremadura, 1998) Determinar la matriz X que satisface la ecuación 3X+I = A.B - A2, siendo:

 

, e I la matriz unidad de orden 3.

 

 

2.- (Baleares, 1998) Tres familias van a una heladería. La primera pide dos helados grandes, uno mediano y uno pequeño; la segunda familia pide uno grande, dos medianos y dos pequeños y la tercera dos grandes y tres pequeños.

 

a)                  Escribe una matriz 3x3 que exprese el número de helados grandes medianos y pequeños que pide cada familia.

b)                  Si la primea, la segunda y la tercera han gastado en total en la heladería 700, 800 y 775 ptas, respectivamente, calcula el precio de un helado grande, el de un helado mediano y el de un helado pequeño.

 

3.- (Zaragoza, 1998)  Considerar una matriz A de orden m x n con m ¹n. Razonar si se puede calcular la expresión A AT - AT A, siendo AT la matriz traspuesta de A.

4.- (Cataluña, 1998) Considera la matriz . Comprueba que la traspuesta de A coincide, en este caso, con la inversa de A.

 

5.- (Madrid, 1998) En un colegio se imparten los cursos 1º, 2º y 3º de ciertas enseñanzas. Los profesores tienen asignado un número de horas de clase, tutorías y guardias a cubrir, de acuerdo con la siguiente matriz: El colegio paga cada hora de clase a 2000 pesetas, cada hora de guardia a 500 pesetas y cada hora de tutoría a 1000 ptas, según el vector: . El colegio dispone de 5 profesores para primer curso, 4 para segundo y 6 para tercero, representados por el vector: . Calcúlese cada uno de los siguientes productos de matrices e interprétense los resultados:

 

a)         PM                  b)         MC                  c)         PMC            

 

6.- (Zaragoza, 1998) a)  Considerar una matriz A de orden m x n con m ≠ n.

 

Razonar si se puede calcular la expresión A At - At A, siendo At la matriz traspuesta de A.

 

Considerar la matriz . Resolver por el método de Gauss:

1) El sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es At A.

2) El sistema de ecuaciones lineales homogéneo cuya matriz de coeficientes es A At.

 

 

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES

P.A.U. Cantabria

 

1.- (Cantabria, junio 1996) Sea un número A  un número de cuatro cifras tal que la cifra de las unidades de millar y la cifra de las decenas es la misma. La suma de las cuatro cifras de A es 27. La diferencia entre el número A y el que resulta de invertir el orden de sus cifras es 3546. La suma de las cifras de las unidades y de las centenas de A es un número igual a la cifra de las decenas de A.

1. Plantear un sistema de ecuaciones que permita determinar el número A.

2. Determinar el número A.

 

2.- (Cantabria, septiembre 1996) Un supermercado tiene en oferta aceite, leche y galletas. Un consumidor compra dos litros de aceite, cuatro de leche y una caja de galletas y gasta 1800 ptas; otro compra cuatro litros de aceite, un litro de leche y dos cajas de galletas, gastando 3075 ptas. y un tercero compra un litro de aceite, dos de leche y cuatro cajas de galletas, gastando 1600 ptas.

 

1. Plantear el sistema de ecuaciones que permita determinar los precios de los tres productos.

 

2. Resolverlo.

 

3.- (Cantabria, junio 1997) Un determinado inversor dispone de un capital C que invierte en tres productos financieros: a, b y c. Se desea saber cuál es el interés de a, cuál el de b y cuál el de c, sabiendo que:

 


S              Si invierte el 25% en a, el 45% en b y el resto en c obtiene una rentabilidad del 4'6 %.

S              Si invierte el 50% en a, el 40% en c y el resto en b obtiene una rentabilidad del 4'8 %.

S              Si invierte exclusivamente y a partes iguales en b y en c obtiene una rentabilidad del 6'5%.

 

Se pide:

1.      Plantear el sistema de ecuaciones correspondiente.

2.      Resolverlo. 

 

4.- (Cantabria, Junio 1998) Estudiar el sistema que se expresa a continuación de dos ecuaciones y dos incógnitas x e y, en función del parámetro n.

 

5.- (Cantabria, septiembre 1998) Estudiar el sistema que se expresa a continuación, de tres ecuaciones y dos incógnitas x e y, en función del parámetro a.

 

6.- (Cantabria, Junio 1999) Si se mezclan 60 litros de vino blanco con 20 litros de vino tinto, se obtiene un vino de 10 grados (10% de alcohol). Si, por el contrario, se mezclan 20 litros de vino blanco con 60 litros de vino tinto, se obtiene un vino de 11 grados. ¿Qué graduación tendrá una mezcla de 40 litros de vino blanco y 40 litros de vino tinto?

 

7.- (Cantabria, Junio 1999) Sea el siguiente sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, x e y, y un parámetro n.

1. Expréselo en forma matricial siendo los elementos de una de las matrices que intervienen las variables.

2. Discútalo según los valores del parámetro.

3. Determine su solución para n = 3.

 

8.- (Cantabria, Junio 2000) Se considera el siguiente sistema de dos ecuaciones:

1. Estudiar el sistema en función del parámetro n.

2. En aquellos casos que sea posible, resolverlo.

 

9.- (Cantabria, Junio 2000) La distancia de tres playas (A, B y C) del lugar de veraneo de una familia es tal que el doble de la distancia a A es el triple de la distancia a B.

La suma de las distancias a A, B y C es de 90 000 m. y el doble de la distancia a B más el triple de la distancia a C menos la distancia a A es igual a 130 000 m. ¿Cuál es la distancia a cada playa?.

 

10.- (Cantabria, Septiembre 2000) ¿Cuántos litros de leche con 35% de materia grasa han de mezclarse con leche de 4% de materia grasa para obtener 20 litros con 25% de materia grasa?

 

11.- (Cantabria, Septiembre de 2001) Hallar los coeficientes a, b c del polinomio  para que sea divisible por   x – 3, tenga resto -6 al dividirlo por x – 1 y resto -4 al dividirlo por x + 1.

 

12.- (Cantabria, Septiembre 2002) De un número de tres cifras se conoce que la suma de éstas es 13. Si se intercambian las cifras de las unidades y de las centenas, el número disminuye en 198, y si se intercambian las de las unidades y decenas, el número aumenta en 36.

Se pide: encontrar el número.

 

13.- (Cantabria, Junio 2003) Comprar: dos refrescos, un bocadillo y dos dulces, nos cuesta 14 euros. Si compramos: siete refrescos, tres bocadillos y cuatro dulces, el importe es 17 euros.

  1. Determinar el precio de un bocadillo y de un refresco en función del precio de un dulce.
  2. Hallar lo que nos cobrarían si adquirimos: tres refrescos, dos bocadillos y seis dulces.

 

14.- (Cantabria, septiembre 2003) La edad de una madre es, en la actualidad, el triple que la edad de su hijo. La suma de las edades de padre, madre e hijo es de 80 años. Dentro de 5 años, la suma de las edades de la madre y del hijo será 5 años más que la del padre. ¿Cuántos años tienen el padre, la madre y el hijo en la actualidad?.

 

 

Otras Autonomías

1.- Dado el sistema de ecuaciones lineales:  . Se pide:

a) discutir el sistema en función de los valores de a.

b) resolver el sistema para el valor a = 2.

 

2.- Considérese el sistema de ecuaciones dependientes del parámetro a:

 

a) discutir el sistema según los valores de a.

b) Resolver el sistema para a = - 1.

 

3.- Dada el sistema homogéneo  Se pide:

 

a) Determinar para qué valores del parámetro m tiene otras soluciones además de la trivial.

 

b) Hallar, para el valor de m calculado en el apartado a), las soluciones del sistema.

 

 

PROGRAMACIÓN LINEAL

 

P.A.U. Cantabria

 

1º.- (Cantabria, septiembre 1996) Una empresa fabrica dos productos A y B. Se sabe que la producción de B no supera en 1000 unidades a la de A; además la producción de ambos no supera las 5000 unidades, y del producto B se elaboran, como mínimo, 2000 unidades. El coste de la elaboración de A es un tercio mayor que el de B. ¿Cuántas unidades ha de elaborar de cada producto si se desea que el coste sea mínimo?. Para responder a estas cuestiones:

1 Expresar mediante inecuaciones el recinto definido.

2. Dar la función objetivo.

3. Determinar el número de unidades que elabora en cada caso.

                       

2º.- (Cantabria, septiembre 1997) Una entidad financiera capta depósitos y presta dinero. La captación de depósitos lleva una hora para convencer al cliente y otra hora de trabajo burocrático. El préstamo de dinero lleva una hora para convencer al cliente y dos horas de trabajo burocrático. El máximo número de horas de trabajo disponible es de 40 horas para convencer a los clientes y 60 horas para el trabajo burocrático. El beneficio obtenido por prestar dinero es 1/3 mayor que el de captar depósitos. ¿Cuántas operaciones de cada tipo le conviene realizar para obtener el máximo beneficio?. Seguir los siguientes pasos:

1. Expresar mediante inecuaciones el recinto definido.

2. Dar la función objetivo.

3. ¿Cuántas operaciones realiza de cada tipo?.

 

           

3º.- (Cantabria, junio 1997) Los precios de venta de dos productos A y B están en la misma relación que 7 y 6. La producción de estos productos está definida por las siguientes condiciones:

- La producción de A es mayor o igual que la mitad de B y menor o igual que el doble de B.

- La producción es tal que si sólo se produce A, se producen 10 kg, y si sólo se produce B, se producen 15 kg. Y sis se producen conjuntamente, la producción máxima se encuentra en la recta que une los puntos anteriores.

1. Dar la función objetivo de la venta de ambos productos.

2. Expresar mediante inecuaciones el recinto definido.

3. Determinar los kilos que se han de producir de cada producto para obtener el máximo beneficio.

 

4º.- (Cantabria, junio 1998) Se desea realizar una mezcla de dos sustancias A y B, que ha de contener como mínimo 15 unidades de cada una de ellas. Estas sustancias nos las venden dos proveedores en forma de lotes.

El lote del primer proveedor es tal que los contenidos de A y B están en relación de 5 a 1 y contienen una unidad de A.

El lote del segundo proveedor es tal que los contenidos de A y B están en relación de 5 a 1 y contiene una unidad de B.

El primer proveedor vende cada lote a 1000 ptas. precio que es un tercio de a lo que vende el segundo el suyo. Ambos proveedores nos venden lotes enteros o fracciones de ellos.

¿Qué número de lotes hemos de comprar para que el coste sea mínimo?. ¿Cuál es el coste mínimo?

 

5º.- (Cantabria, septiembre 1998) Maximizar y minimizar la función z = 3x + 4y en el recinto definido por :

 

  

6º.- (Cantabria, septiembre 1999) Un comerciante desea comprar dos tipos de lavadoras, A y B. Las tipo A cuestan 45000 pta. y las de tipo B, 75000. Dispone de 1050000 pta. y de sitio para 20 lavadoras y, al menos, ha de comprar una de cada tipo.

- ¿Cuántas lavadoras ha de comprar de cada tipo para obtener beneficios máximos con su venta posterior, sabiendo que en cada lavadora gana el 20% del precio de compra?

Nota: Se recuerda que el número de lavadoras de cada tipo ha de ser entero.

 

7º.- (Cantabria, septiembre 2000) Un empresario tiene dos centros en los que sirve “comida rápida”. En uno de los centros tardan 14 minutos en preparar los platos precocinados y 4 minutos en hacer bocadillos y ño abre 10 horas al día. En el otro centro tardan 6 minutos tanto en la preparación de platos precocinados como en la de los bocadillos, abriéndolo 9 horas al día. Si el empresario obtiene una ganancia de 240 pesetas por plato precocinado y 80 por bocadillo, ¿cuántos platos precocinados y cuántos bocadillos debe vender para obtener la máxima ganancia?

 

8º.- (Cantabria, junio 2001) Las siguientes desigualdades definen un recinto en el plano

1. Determinar los vértices del recinto.

2. Si la función objetivo es , ¿alcanza un máximo?, ¿es único?, ¿alcanza un mínimo?, ¿es único?.

 

9º.- (Cantabria, junio 2002) En una pequeña empresa se fabrican sólo dos tipos de aparatos, A y B. Como máximo pueden fabricarse 3 aparatos de cada tipo y, obligatoriamente, al menos uno de tipo B. Se quieren obtener unas ventas superiores a 600 euros, teniendo en cuenta que los precios a los que vende los artículos A y B son 300 y 100 euros, respectivamente. Se pide:

Todas las posibilidades de fabricación.

 

10º.- (Cantabria, septiembre 2002) Una empresa fabrica agua de colonia de dos tipos: A y B. La colonia A lleva un 10% de extracto de rosas, un 20% de alcohol y el resto de agua. La B lleva un 30% de extracto de rosas, un 120% de alcohol y el resto agua. Se dispone de 1800 litros de extracto de rosas y 1600 de alcohol. La empresa vende a 1 euro el litro del producto B y a medio euro el litro de producto A.

Se pide hallar:

- el número de litros de cada producto que ha de fabricar para que el importe de la venta sea máximo.

 

11º.- (Cantabria, septiembre 2003) Maximice la función , sujeta a las siguientes restricciones:

 

 

represente el conjunto de soluciones factibles.

 

Otras Autonomías

 

1º.- Se desea realizar una mezcla con dos sustancias A y B, que ha de contener como mínimo 10 unidades de cada una de ellas. Estas sustancias nos las venden dos proveedores en forma de lotes.

 

El lote del primer proveedor es tal que los contenidos de B y A están en la relación de 4 a 1 y contiene una unidad de A.

 

El lote del segundo proveedor es tal que los contenidos de A y B están en la relación de 4 a 1 y contiene una unidad de B.

 

El primer proveedor vende cada lote a 1000 pesetas, precio que es la mitad de a lo que vende el segundo el suyo. Ambos proveedores nos venden lotes enteros o fracciones de ellos.

 

¿Qué número de lotes hemos de comprar para que el coste sea mínimo?. ¿Cuál es ese coste?.

 

2º.- Una fábrica de muebles produce dos líneas de muebles: “clásico” ( C) y “funcional” (F). Para su fabricación, los muebles requieren tiempo de proceso de construcción y pintura. El mueble clásico precisa una unidad de tiempo de construcción y tres de pintura, mientras que el funcional requiere dos unidades de tiempo de construcción y una de pintura. la situación actual de la empresa no permite utilizar más de diez unidades de tiempo de construcción y quince de pintura.

 

a) Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones.

b) Indicar cuál es la región factible.

c) Si el beneficio empresarial B es función del número de unidades fabricadas de acuerdo con la relación: B = 3C + 2F, ¿cuántas unidades de cada línea deben fabricarse para maximizar los beneficios?. ¿Cuál es el beneficio máximo?.

 

3º.- Un atleta debe tomar por lo menos 4 unidades de vitamina A, 6 unidades de vitamina B y 12 unidades vitamina C cada día. Hay dos productos P1 y P2 que en cada frasco contienen las siguientes unidades de esas vitaminas:

 

 

A

B

C

P1

4

1

4

P2

1

6

6

 

Si el precio de un bote de P1 es de 50 pts. y el de un bote P2 es de 80 pts. averigua cómo deben mezclarse ambos productos para obtener la dieta deseada con el mínimo precio.

 

4º.- Una confitería es famosa por sus dos especialidades en tartas: la tarta Imperial y la tarta de Lima.

 

La tarta Imperial requiere para su elaboración medio kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 1200 pta. La tarta de Lima necesita 1 kilo de azúcar y 8 huevos, y tiene un precio de venta de 1500 pta.

 

Debido a una mala previsión, se encuentran con la imposibilidad de realizar pedidos de huevos y de azúcar y les quedan en el almacén 10 kilos de azúcar y 120 huevos para la preparación de las citadas tartas.

 

a) ¿Qué combinaciones de especialidades pueden hacer?. Plantear el problema y representar gráficamente el conjunto de soluciones.

 

b) ¿Cuántas unidades de cada especialidad han de producirse para obtener el mayor ingreso por  ventas?. ¿A cuánto asciende dicho ingreso?.

 

5º.- Un empresario posee dos restaurantes. En el primero se emplea una hora en elaborar una comida y otra hora en servirla. En el segundo se emplea una hora en elaborar una comida y dos en servirla. El máximo número de horas de trabajo disponibles es de 40 horas para elaborar comidas y 60 para servirlas. El beneficio obtenido en el segundo restaurante es 1/3 mayor que en el primero.

 

¿Cuántas comidas le conviene elaborar y servir en cada restaurante para obtener el máximo beneficio?. Seguir los siguientes pasos:

 

1.- Expresar mediante inecuaciones el recinto definido.

2.- Dar la función objetivo.

3.- ¿Cuántas comidas elabora y sirve cada restaurante?