Categoría 2ª. Problemas resueltos

 

1º.- Un alumno que estaba investigando las propiedades matemáticas de un rectángulo cuadriculado de dimensiones 5 × 5, como el que se muestra en la figura, ha observado que si traza la recta vertical AB y la horizontal CD el rectángulo queda dividido en cuatro partes que tienen la siguiente propiedad: Si multiplica el área del rectángulo I por la del rectángulo III el resultado es el mismo que el obtenido al multiplicar el área del rectángulo II por la del rectángulo IV. En el ejemplo,

 6 × 6  =  4 × 9.

¿Sigue siendo cierta esta propiedad cuando se divide el rectángulo con otra vertical y otra horizontal?.

¿Se cumple esta propiedad para rectángulos de otras dimensiones?

 

 

 

SOLUCIÓN:

La propiedad se mantiene para divisiones análogas del rectángulo original y también para otro rectángulo de otras dimensiones. La justificación de esta propiedad radica en la tabla de multiplicación. En efecto, si se divide la anchura en a y b cuadrículas y la altura en c y d cuadrículas y hacemos la tabla que se muestra a continuación

 

 

a

b

c

ac

bc

d

ad

bd

observamos que las áreas de los rectángulos, obtenidos en la división, coinciden con los productos de la tabla de multiplicación. Una propiedad de la tabla es que los productos en diagonal son iguales y tienen el valor abcd.

 

 

2º.- En un camión se trajeron 1.000 kg. de uvas desde Almería a Bezana. Cuando las cargaron, las uvas tenían 99% de agua. Cuando llegaron a Bezana tenían 98% de agua. ¿Cuánto pesaban las uvas en Bezana?

 

SOLUCIÓN:

Si las uvas tienen el 99% de agua al salir de Almería quiere decir que la parte seca de las uvas pesa en total 10 kg. Esta parte seca no varía, por lo tanto, si al llegar a Bezana tienen el 98% de agua quiere decir que la parte seca supone el 2 % del peso total. Luego el peso total de las uvas en Bezana será de 500 kg.

 

3º.- Dibujando 3 cuadrados hay que aislar todos y cada uno de los 7 círculos de la figura:

 

SOLUCIÓN:

Una solución es:

 

 

 

 

 

 

 

4º.- Seis participantes en una de las pasadas ediciones del Gran Hermano formaban un grupo social de características muy peculiares. Cada dos participantes o se amaban mutuamente o bien se odiaban uno a uno. No podía encontrarse ningún grupo de tres participantes que se amasen mutuamente uno a otro. Probar que había, al menos, un conjunto de tres participantes que se odiaban mutuamente unos a otros.

 

SOLUCIÓN:

Si se distribuyen las seis personas en los vértices de un hexágono como se muestra en la ilustración. Las líneas que unen los vértices señalan la relación amor u odio mutuo. Supongamos que desde A se señalan mediante líneas discontinuas las relaciones de amor mutuo con C, D y E respectivamente. Consideremos el triángulo CDE.

Si EC es discontinua entonces el triángulo ACE tiene sus tres lados discontinuos y tenemos un grupo de tres participantes que se aman mutuamente en contra de la condición del enunciado. Lo mismo cabe decir respecto a los lados CD y DE. Luego el triángulo CDE tiene sus tres lados continuos y, por lo tanto, hay un grupo de tres participantes que se odian mutuamente.   Si salen más líneas de amor mutuo de A se tendrá una prueba análoga y si salen menos de tres la demostración sería trivial.

 

 

5º.- C18.- En un geoplano de 5x5 puntas, como el que se muestra en la ilustración, ¿es posible formar un cuadrado que tenga en su interior  5 puntas y en el exterior las 20 puntas restantes?. En caso afirmativo, indica cómo se construye dicho cuadrado y justifica el procedimiento.

 

 

 

 

 

 

SOLUCIÓN:

El cuadrado será la intersección de dos paralelogramos como se muestra en la ilustración

 

 

 

 

 

 

 

6º.- El inefable espía- jefe Rodolfo, dotado de una enorme intuición para ocultar indicios que son de dominio público, se afanaba en desvelar la clave de la máquina “Enigma” que usaba el enemigo para cifrar sus mensajes. Sus informantes, tras arduos esfuerzos, habían conseguido imprimir en su mente los datos que habían llegado a conocer sobre la clave, que eran los siguientes:

a) la clave tiene seis dígitos.

b) excepto los dos primeros, cada dígito es la diferencia de los dos que le preceden.

c) la suma de tres dígitos consecutivos es, como máximo, igual al número total de dígitos de la clave.

d) la segunda cifra no es cero.

Huelga decir que el espía-jefe, tras pasar varias horas contemplando la cartulina en la que había escrito estos datos,  el único resultado que obtuvo fue una enorme jaqueca que le apartó de circulación durante una semana. Curiosamente, durante este breve periodo, hasta la prensa más hostil al gobierno observó notables mejoras en el funcionamiento de los servicios secretos.

¿Podrías determinar los seis dígitos de la clave?

 

SOLUCIÓN:

Llamamos a, b, c, d, x e y a los seis dígitos de la clave tendremos según b)

a – b = c ; b – c = d;  c – d = x;  d – x = y. Si sumamos miembro estas ecuaciones quedará:  a – x = c + d + x + y,

o bien si lo ponemos en función de x e y: a = 5x + 3y (1).

De c) se tiene: a+b+c ≤ 6;  b+c+d ≤ 6;  c+d+x ≤ 6;  d+x+y ≤ 6.

Sumando miembro a miembro las inecuaciones, tendremos:

a+ 2b+3c+3d+2x+y ≤ 24   que podemos poner en función de x e y en la forma: 

21x + 14y ≤ 24   (2)

Si tenemos en cuenta que a es una cifra, de (1) tendremos: 0 ≤ 5x + 3y ≤ 9   que junto con la inecuación (2) pueden representarse en un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares y determinar la región factible en la que encontramos que los pares (x, y) de números enteros que están en ella son: (0,0), (0, 1) y  (1, 0). Con lo que las claves  correspondientes:

 

a

b

c

d

x

y

 

0

0

0

0

0

0

No vale

3

2

1

1

0

1

Si

5

3

2

1

1

0

No vale *

5+3+2 = 7 > 6

 

 

7º.- Cuatro matrimonios van a cenar juntos. Ellas se llaman Ana, Berta, Carmen y Dora. Los hombres se llaman Antonio, Bernardo, Cosme y Daniel. Al final de la cena Ana ha fumado 4 cigarrillos, Berta, 3; Carmen, 2, y Dora, 1. Antonio ha fumado lo mismo que su mujer; Bernardo, el doble que la suya, Cosme, el triple que la suya, y Daniel, cuatro veces más que la suya. En los ceniceros hay un total de 32 colillas. ¿Cómo se llama la mujer de Cosme?

 

SOLUCIÓN:

 

Podemos agrupar los datos de la siguiente forma:

 

Donde se escribe el número de cigarrillos de cada uno de los varones si estuviera casado con la mujer que encabeza la columna.

Como las mujeres consumen 10 cigarrillos en total, la suma de los consumidos por los hombres ha de ser 32 – 10 = 22.

El problema se resuelve hallando cuatro números de la tabla que no pueden estar en la misma fila ni en la misma columna cuya suma sea 22.

Procediendo sistemáticamente se llega a que los números son:

8 de la 1ª columna 2ª fila (Bernardo sería el marido de Ana)

3 de la 2ª columna  1ª fila (Antonio marido de Berta)

8 de la 3ª columna 4ª fila  (Daniel marido de Carmen)

3 de la 4ª columna 3ª fila (Cosme marido de Dora)

 

Luego la mujer de Cosme es Dora.

 

8º.- Encuentra el menor de los números tales que al dividirlos por:

2 el resto es 1, 3 el resto es 2, 4 el resto es 3, 5 el resto es 4, 6 el resto es 5, 7 el resto es 6, 8 el resto es 7, 9 el resto es 8.

 

SOLUCIÓN:

Si se designa por N al número buscado, se tiene:

N = 2c1 + 1,  N = 3c2 + 2, ........, N = 8c7 +7, N = 9c8 + 8

O bien:

N = 2(c1 + 1) – 1, N = 3(c2 + 1) – 1, .......,  N = 9(c8 + 1) – 1

El número buscado es, por lo tanto, una unidad menor que el m.c.m. de los números: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9.

Es decir: N = m.c.m.( 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 , 9) – 1 = 2519.

 

 

9º.- Utilizando únicamente las cifras  2, 3, 5 y 7  reconstruye la siguiente multiplicación sustituyendo los * por la cifra adecuada para que la multiplicación sea correcta:

 

SOLUCIÓN: 775 x 33

 

10º.- Dibuja en una hoja de papel cuadriculado de tu cuaderno un rectángulo de 25 x 17 cuadrículas. En otra hoja de papel cuadriculado del mismo tipo recorta siete rectángulos iguales de dimensiones 10 x 6 cuadrículas. Si tomamos como unidad de área la de una cuadrícula, el área del rectángulo grande será de 425 unidades y la suma de las áreas de los siete rectángulos pequeños será 420 unidades. Es evidente que no podemos cubrir completamente el rectángulo grande con los siete pequeños, pero...

¿Cuál es el área máxima del rectángulo grande que podemos cubrir con los siete pequeños en las condiciones que, a continuación, se indican?

a) Los rectángulos pequeños no pueden cortarse ni doblarse y sus bordes han de estar paralelos a los del rectángulo grande.

b) Los rectángulos pequeños no pueden cortarse ni doblarse y no es necesario que sus bordes estén en paralelo con los del rectángulo grande.

 

SOLUCIÓN:

En la página 238 de Martin Gardner. “El ahorcamiento inesperado y otros entretenimientos matemáticos.