2º Certamen de resolución de problemas matemáticos

I.E.S. Santa Cruz de Bezana. Curso 2003/2004

Problemas propuestos en la 1ª Categoría con sus soluciones

 

 

1.- Patricia y Jaime son aficionados a la Botánica. Han encontrado dos plantas en el bosque y para clasificarlas han de contar sus hojas. Tras realizar el recuento, Patricia ha obtenido un número de tres dígitos y Jaime un número de un solo dígito. La diferencia entre ambos números es 91. ¿Puedes calcular cuánto suman ambos?.

 

SOLUCIÓN:

El número n obtenido por Jaime cumple: 0 # n # 9. Como n + 91 ha de ser un número de tres cifras, n = 9. Luego: 100 + 9 = 109.

 

2.- La familia García tiene cuatro hijos de distintas edades y estaturas: María, Pedro, Juan y Blanca. Curiosamente, cuanto  mayores son en edad más bajos son de talla. Juan sigue a María en edad y Pedro sigue a María en estatura. ¿Cuál de ellos sigue a Blanca en edad?. ¿Quiénes son el más alto y el más bajo?

 

SOLUCIÓN:

Si se representa “ser el siguiente más bajo  por < y “ser el anterior en edad” por  <<, tendremos:

M << J   luego   J < M   y como M < P, tendremos: J < M < P y, en consecuencia:

P << M << J

De donde: B << P   Es decir Pedro sigue a Blanca en edad.

 

De lo anterior se sigue que: J < M < P < B por lo tanto el más bajo es Juan y Blanca la más alta. 

 

3.- El número de CD’s de la colección de Eva está comprendido entre 4 y 105. Si los agrupa de 3 en 3 le sobran 2. También le quedan dos sueltos cuando hace con ellos grupos 4 o de 5. ¿Cuántos CD’s tiene Eva en su colección?.

 

SOLUCIÓN:

Si N es el número de CD’s de Eva, N - 2 tendrá por divisores: 3, 4 y 5, luego:

N - 2  debe ser un múltiplo de 3.4.5 = 60. El único múltiplo que satisface las condiciones del problema es: N - 2 = 60, de donde: N = 62

 

4.- Una cabra está atada con un cordel de 10 m. de longitud a la esquina de un edificio que tiene una planta con forma de pentágono regular de 30 m. de lado. ¿Cuál es el área máxima en que puede pastar la cabra?.

 

5.- Si  n es una de estas cifras {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, halla el producto de los valores de n que hacen que el número 546 324 16n sea divisible por 6.

 

SOLUCIÓN:

 

Para que el número sea divisible por 6 ha de ser divisible por 2 y por 3. El número es divisible por 2 si la última cifra, es decir n, es cero o par, luego n puede ser una de las siguientes cifras: {0, 2, 4, 6, 8}. Será divisible por 3 si la suma de sus cifras es múltiplo de 3, luego: 5 + 4 + 6 + 3 + 2 + 4 + 1 + 6 + n = 31 + n ha de ser múltiplo de 3.

Esto sucede si 31 + n toma los valores: 33, 36, 39 en cuyo caso N será igual a 2, 5 y 8 respectivamente. Los únicos valores de n que coinciden en ambas condiciones son: 2 y 8. Luego el producto será: 2 ·8 = 16.

6.- Iba un campesino quejándose de lo pobre que era, dijo: “daría cualquier cosa si alguien me ayudara”. De pronto, se le apareció el diablo y le propuso lo siguiente:

“Ves aquel puente, si lo pasa en cualquier dirección tendrás exactamente el doble del dinero que tenías antes de pasarlo. Pero hay una condición, debes tirar al río 24 pesos por cada vez que pases el puente”.

Pasó el campesino el puente una vez y contó su dinero, en efecto, tenía dos veces más, tiró 24 pesos al río, y pasó el puente otra vez y tenía el doble que antes. Tiró los 24 pesos, pasó el puente por tercera vez y el dinero se duplicó, pero resultó que tenía 24 pesos exactos y tuvo que tirarlos al río quedándose sin un peso.

¿Cuánto dinero tenía el campesino al principio?. ¿Cuánto dinero tenía el campesino antes de pasar el puente por última vez?

 

SOLUCIÓN:

21 pesos. Para hallar la solución comenzamos el problema por el final de acuerdo con la siguiente tabla

Comenzando por el estado final en la tercera pasada al puente que 0, se van completando las sucesivas celdas de acuerdo con las condiciones establecidas en el enunciado, al llegar al estado inicial de la primera pasada, tendremos la cantidad que tenía el campesino al principio.

Antes de pasar el puente por última vez el campesino tenía 12 pesos como puede verse en la tabla.

 

 

Final

Tributo

Paso del puente

Inicio

0

 24

24

12

12

24

36

18

18

24

42

21

 

 

7.- Esta noche conde Drácula va a dar una cena a sus amigos en su castillo y necesita sentar en una mesa redonda a sus siete invitados. La cosa no es sencilla, Frankenstein y el Hombre-Lobo deben sentarse juntos; Mr. Hyde debe estar alejado, al menos un asiento, de Alien y del mismo conde; La Momia debe sentarse entre Alien y Frankenstein y, por último, el conde quiere sentarse junto a su gran amigo El Fantasma. ¿Cómo debe colocarse el grupo de siete comensales en la mesa redonda?

 

SOLUCIÓN:

En el sentido horario la disposición será: Drácula, El Fantasma, Mr. Hyde, Hombre-Lobo, Frankenstein, La Momia y Alien.

 

8.- Demuestra, dibujando las correspondientes figuras,  que en un geoplano de 5x5 puntas, como el que aparece en la ilustración, se puede dibujar:

 

(i) un único cuadrado que tiene 5 puntas del geoplano en su interior.

 

(ii) dos tipos de cruz simétrica, rodeando 5 puntas del geoplano cada una de ellas.

 

(iii) tres tipos de cuadrados de forma que cada uno de ellos tenga 9 puntas del geoplano en su interior.

 

 

SOLUCIÓN:

 

 

(I)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(ii)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(iii)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.- Un tendero dispone de una balanza y cuatro pesas distintas, y estas pesas son tales que le permiten pesar cualquier número exacto de kilogramos desde 1 a 40.

¿Cuál es el peso de cada una de ellas?

 

SOLUCIÓN:

 

27 Kg., 9 Kg., 3 Kg., 1 Kg.

 

10.- Disponemos de 9 bolas exactamente iguales en apariencia pero una pesa un poco más que las restantes. Disponemos, también, de una balanza de dos platos. Hallar un procedimiento que permita conocer, con dos pesadas, cuál es la bola que pesa más.

 

SOLUCIÓN

 

Primera pesada: se ponen tres bolas en cada platillo y quedan tres fuera. Pueden pasar dos cosas:
a) que los dos platillos queden equilibrados, en este caso la bola más pesada es una de las tres que hemos dejado fuera.
b) Que los dos platillos no queden equilibrados. En este caso, la bola más pesada se halla entre las tres del platillo que ha desequilibrado la balanza.

Una vez que tenemos un conjunto de tres bolas entre las que se encuentra la más pesada, colocamos una en cada plato de la balanza y dejamos otra fuera. Nuevamente, pueden ocurrir dos casos:

a) que los dos platillos queden equilibrados, en este caso la bola más pesada es la que hemos dejado aparte y en dos pedas hemos dado con ella.
b) Que los dos platillos no queden equilibrados. En este caso, la bola más pesada se halla en el platillo que ha desequilibrado la balanza.