Categoría 3ª: Problemas resueltos.

 

1.-Probar que 8n+7 , siendo n un número natural, no puede escribirse como suma de tres cuadrados de números enteros.

 

SOLUCIÓN:

Cualquier número natural se puede escribir en una de estas formas: 8n, 8n+1, 8n+2, 8n+3, 8n+4, 8n+5, 8n+6 y 8n+7, siendo n un número natural (incluido el 0).

Si elevamos al cuadrado cada una de estas formas obtendremos:

(8n)2 = 64n2 = 8(8n2) = 8k (siendo k un número natural)

(8n+1)2=  8(8n2)+8(2n)+1 = 8k+1 (siendo k un número natural)

(8n+2)2= 8(8n2)+8(2n2)+4 = 8k+4 (siendo k un número natural)

(8n+3)2= 8(8n2)+8(2n3)+9 = 8(8n2)+8(2n3)+8+1 = 8k+1 (siendo k un número natural)

siguiendo este razonamiento, obtendremos en los demás casos:

(8n+4)2 = 8k (siendo k un número natural)

(8n+5)2 = 8k+1 (siendo k un número natural)

(8n+6)2 = 8k+4 (siendo k un número natural)

(8n+7)2 = 8k+1 (siendo k un número natural)

 

2.- La habitación de Juan es rectangular y tiene el suelo forrado con baldosas cuadradas iguales. Tiene 84 baldosas a lo ancho y 132 a lo largo. Si traza una diagonal con un rotulador ¿cuántas baldosas quedarán marcadas?

                                                                                 

SOLUCIÓN:

 

132 + 84 - MCD(132, 84)

De esta forma la suma de tres cuadrados de números enteros será un múltiplo de 8  (8n) más la suma de tres números elegidos en el conjunto {0, 1, 4} y esta suma no puede ser nunca igual a 7.

 

3.- Hipatia fue una matemática egipcia nacida en el año 370 d.C. que propuso el siguiente problema:

 

Hallar un número que sea la suma de dos cuadrados y cuyo cuadrado sea, a su vez, la suma de dos cuadrados.

 

Hipatia observó que números de la forma 4n + 1, donde n es un número entero positivo podían, bajo ciertas condiciones, ser soluciones del problema. Obtén tres soluciones particulares y determina qué condiciones ha de cumplir n para obtener una solución.


 

SOLUCIÓN:

 

n

1

2

3

4

5

6

4n + 1

5

9

13

17

21

25

x2 + y2

22 + 12

-

32 + 22

42 + 12

-

42 + 32

(4n+1)2

25

81

169

289

441

625

z2 + k2

42 + 32

-

122 + 52

152 + 82

-

242 + 72

 

            Una posible conjetura es cuando 4n+1 es primo, el caso n = 6 quedaría fuera, en efecto se cumple para valores fuera de la tabla:

 

n = 7, 29 = 52 + 22 , 292 = 841 = 212 + 202,

n = 9, 37 = 62 + 12, 372 = 352 + 122

 

            Si se observa que 25 es el cuadrado de una de las soluciones anteriores, podemos conjeturar que la regla será válida si excluimos los casos en que 4n+1 coincida con el cuadrado de una solución anterior.

 

4.- ¿Cuál es la cifra de las unidades del número que resulta de realizar la siguiente suma:

 

 

SOLUCIÓN:

 

n !

 n ! =

(n !) 2

Cifra de unidades

1 !

1

1

1

2 !

2

2

2

3 !

6

36

6

4 !

24

576

6

5 !

120

14400

0

6 !

720

518400

0

 

Como puede verse en la tabla, a partir de n = 5 el factorial de n acaba en 0. Este hecho se debe a que en el desarrollo del factorial aparece, al menos una vez, el factor 10 = 5 ·2. Por lo tanto, la cifra de las unidades de la suma será la misma que la que resulta de sumar 1 + 2 + 6 + 6 = 15, es decir 5.

 

5.- X e Y son dos números naturales tales que X > Y. Si se añade Y a la suma de los X primeros números naturales el resultado es 1900. ¿Cuáles son los números X e Y?

 

SOLUCIÓN:

La suma de los X primeros números naturales viene dada por: , luego tendremos que , es decir, . Como X ha de ser un número natural, tendremos: El número natural R cuyo cuadrado está más próximo a 15201 es 123. Si elaboramos la siguiente tabla:

 

R

X

Y

C. del Enunciado

123

61

9

Si

122

60,5

 

No

121

60

70

No

 

Luego la solución es: X = 61, Y = 9