Categoría 3ª. Problemas propuestos

 

1.- Los números enteros del 1 al 2002, ambos inclusive, se escriben en una pizarra en orden creciente 1, 2, . . . , 2001, 2002. Luego, se borran los que ocupan el primer lugar, cuarto lugar, séptimo lugar, etc., es decir, los que ocupan los lugares de la forma 3k + 1.
En la nueva lista se borran los números que están en los lugares de la forma 3k +1.

Se repite este proceso hasta que se borran todos los números de la lista. ¿Cuál fue el último número que se borró?

 

 

2.- Si se suman los cuadrados de los factoriales de los diez primeros naturales, es decir,

¿Cuál es la cifra de las unidades del número que resulta de esta suma?

¿Qué cifra de unidades resultaría para los cien primeros naturales?

 

 

3.- Demostrar que para todo entero n > 1 se cumple:

 

 

 

4.- Se colocan seis cuadrados del modo que muestra la figura:

Demostrar que la suma de las áreas del cuadrados “interiores” denotados por I,II,III es la tercera parte de la suma de las áreas de los cuadrados  “exteriores” denotados por IV, V, VI

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.- En la fracción:

 

cada letra representa un dígito. Letras distintas corresponden a dígitos distintos. El desarrollo decimal es periódico puro con un periodo de longitud cuatro. Hallar la fracción.