Categoría 2ª. Problemas resueltos

 

1.- Cuando unos alumnos investigaban la descomposición de números en producto de dos factores observaron que en los números 1395, 1435 y 2187 existía una curiosa relación que les llevó a denominarlos números “autistas”. Su profesor de matemáticas les dijo que existían otros números “autistas”. ¿Cuáles son las características específicas de los números “autistas”?. Proporcionar algún otro ejemplo de este tipo de números.

 

SOLUCIÓN:

La propiedad que los caracteriza es que se pueden descomponer en dos factores cuyos dígitos son los que forman el número: 1395 = 15 × 93; 1435 = 35 × 41; 2187 = 27 × 81. Otros ejemplos son los siguientes: 21 × 60 = 1260; 21 × 87 = 1827; 30 × 51 = 1530; 80 × 86 = 6880

 

 

2.- En un geoplano de 5x5 puntas, como el que se muestra en la ilustración, ¿es posible, empezando por una punta y moviéndose sólo en vertical y en horizontal, pasar por cada una de las restantes puntas una única vez y volver a la posición inicial?. Aporta algún razonamiento que justifique tu respuesta.

 

 

 

 

 

SOLUCIÓN:

Es imposible ya que siempre quedará una punta fuera del recorrido. Un argumento que avala la imposibilidad es que el camino que pase por las 25 puntas deberá dar 25 pasos, pero para regresar al punto inicial debería hacer un número par de pasos ya que cada desplazamiento, vertical u horizontal, debería compensarse con el opuesto. Con lo que estas dos condiciones son incompatibles.

 

3.- Un hombre anduvo durante 5 horas. Primero sobre terreno llano, después subió a una colina, dio media vuelta y regresó por el mismo camino al punto de partida. En terreno llano anduvo a una velocidad de 4 km/h, subiendo a 3 km/h. y bajando a 6 km/h. ¿Qué distancia total recorrió?

 

 

SOLUCIÓN:

Si designamos por x a la distancia recorrida en llano y por y la longitud de la colina, tendremos:

, que, simplificando, se convierte en:  .

Por lo tanto: x + y = 10 km y la distancia total recorrida será: 20 km.

 

4.- Euler, uno de los más grandes matemáticos que ha dado Suiza, propuso el siguiente problema de aritmética elemental:

Un padre muere dejando varios hijos y especifica en su testamento: "El hijo mayor recibe 100 coronas más la décima parte del resto. El segundo 200 coronas más la décima parte del resto. El tercero 300 coronas más la décima parte del resto. El cuarto 400 coronas más la décima parte del resto, ....."  y así sucesivamente hasta el último de los hijos.

Cuando acabaron de repartirlo descubrieron con sorpresa que la fortuna del padre había sido repartida en partes iguales entre los hijos. ¿Cuántos hijos tenía?.

 

SOLUCIÓN:

Si designamos por x a la fortuna del padre y por n al número de hijos, de la condición que el primer hijo recibe lo mismo que el segundo obtenemos la siguiente ecuación:

 

;  simplificando, quedará:

;  de donde obtenemos que la fortuna del padre asciende a x = 8100 coronas.

Cada hijo recibe  coronas, luego el primero recibe: , de donde se obtiene que n = 9 hijos.

 

 

5.- La entrada al estadio del Sardinero costaba  el pasado domingo 40 €. Fuimos mi padre y yo, mientras yo me quedé en un puesto a comprar unas chuches, mi padre se acercó a la taquilla, puso 100 € en el mostrados y, sin mediar palabra ni gesto alguno, le dieron dos entradas y 20 € de vuelta. ¿Cómo pudo saber el taquillero que mi padre quería efectivamente dos entradas si yo estuve alejado de él en todo momento?.

 

SOLUCIÓN:

Mi padre entregó 100 € en dos billetes de 50 €.

 

 

6.- Dado un cuadrado de lado 1 m. Demuéstrese que si se eligen cinco puntos de su interior, al menos dos de ellos están a una distancia menor de  m.

SOLUCIÓN:

 

Si se divide el cuadrado en cuatro partes iguales como se indica en la figura y elegimos 5 puntos del interior, dos al menos estarán en una de las cuatro partes, con lo que la distancia entre estos será menor que la longitud de la diagonal D.

 

 

 

 

7.- Con el siguiente problema parece ser que disfrutaba mucho el gran Albert Einstein. Dos matemáticos se encuentran en la calle después de mucho tiempo sin verse.

El amigo saca papel y lápiz, hace unos cálculos y al cabo de unos segundos exclama:

·        Me faltan datos.

·        Si, claro, la mayor toca el piano.

Y el amigo dio inmediatamente la respuesta. ¿Serías tú capaz de resolver este enigma?.

 

SOLUCIÓN:

Eran tres hijas, el producto de las edades era 36 y la suma, el nº de la casa de enfrente.  Estas son todas las ternas de números cuyo producto es 36 y sus sumas:

1+1+36=38;  1+2+18=21; 1+3+12=16; 1+4+9=14;  1+6+6=13;  2+2+9=13; 2+3+6=11; 3+3+4=10

Como se puede ver, dos de ellas suman trece que debe ser,  por fuerza,  el nº de la casa de enfrente, de ahí que Chindasvinto diga "me faltan datos", y Edelmiro le responda "la mayor toca el piano". Si hay una mayor, queda descartada la solución 1,6,6, por lo que las edades de las hijas han de ser necesariamente 2, 2 y 9.

 

 

8.- ¿Cuál es el menor número de signos de adición y  cómo deberemos colocarlos entre los dígitos del número  987654321 para, sin alterar el orden de los mismos, obtener como resultado 99?. Razonar la respuesta.

 

SOLUCIÓN:

Como se tiene que 9+8+7+6+5+4+3+2+1 = 45, será necesario suprimir uno (o más) de los ocho signos de adición para poder sumar 99.

a) Supongamos, en primer lugar, que suprimimos uno de los signos entre las cifras x y x-1 y unimos estas dos cifras para formar el número 10x + x-1 = 11x-1.

La suma resultante será: 45 – (x + x - 1) + 11x - 1 = 99, de donde: x = 6. Por lo tanto, escribiremos siete signos de adición y quedará: 9 + 8 + 7 + 65 + 4 + 3 + 2 + 1 = 99

b) Supongamos, ahora, que se suprimen dos signos de adición, sean estos entre las cifras x ,  x -1 e y, y – 1, con la condición de que x e y no pueden ser cifras consecutivas.

Tendremos: que los sumandos con una única cifra suman:

45 – (x + x -1) – (y + y-1) = 47-2x-2y.

Los dos sumandos de dos cifras suman: 10x + x -1 + 10y + y -1 = 11x + 11y -2

Por lo tanto: 47 – 2x – 2y + 11x +11y -2 = 99 o bien: x + y = 6

Podemos elaborar la siguiente tabla:

 

x

y

Suma indicada

Total

  “+”

 

6

0

9+8+7+65+4+3+2+1

99

7

Ya visto a)

5

1

8+7+6+54+3+2+19

99

6

(*)

4

2

9+8+7+6+5+43+21

99

6

 

 

No existen más valores posibles para x e y ya que no pueden ser consecutivos ni iguales.

En este caso tendremos dos soluciones con seis signos +. El caso (*) sólo sería admisible en el supuesto que se permitiese colocar los nueve dígitos formando un círculo. En ese caso, el dígito siguiente a 1 sería 9, como se ha considerado al hacer la suma.

Si se descarta el caso (*), la mejor solución es  9+8+7+6+5+43+21= 99 y puesto que no cabe juntar tres dígitos consecutivos ya que el resultado superaría siempre a 99, es la solución al problema.

 

 

9.- Dos ciudades, A y B,  situadas a 410 km están unidas por una línea de ferrocarril. A cada hora en punto, a partir de las 6 de la mañana hasta las 10 de la noche, sale un tren de la ciudad A en dirección a B y otro tren de B en dirección a A. Estos trenes no hacen ninguna parada hasta llegar a su destino y van a una velocidad constante de 80 km/h

a) El tren que sale de la ciudad B a las 2 de la tarde, ¿con cuántos trtenes que salen de la ciudad A se cruzarán?
b) ¿Cuántos kilómetros habrá recorrido cuando se encuentra con el segundo tren?, ¿y con el tercero?.
c) Determina una fórmula que sirva para calcular los kilómetros recorridos en el momento de encontrarse con el tren "nº".

 

SOLUCIÓN

a) Un tren tarda 410/80 = 5,125 horas = 5 horas 7 minutos y 30 segundos en hacer el viaje. Por tanto, el tren que sale a las dos llegará a la ciudad A a las 19 horas 7min 30 seg.  Cuando sale de la ciudad B no ha llegado aún el tren que ha salido de A a las 9 de la mañana (su hora de llegada a la ciudad B es a las dos, siete minutos y medio), por tanto, se encontrará con este tren en primer lugar y con el que sale de A a las 7 en segundo lugar, son en total 11 trenes.

b) En el momento de salir,  el tren que había salido a las nueve de la mañana de la ciudad A está a 10 kilómetros de B, el de las 10, que es el segundo con el que se cruzará,  está a 90 Km de B, por tanto, se cruzarán a 45 Km de B. El tercero estará a 170 Km y se cruzarán a 85 Km de B.

c) n varía de 1 a 11, el  número de kilómetros k es igual a: k = 5 + 40(n - 1) = 40n - 35.

 

10.- Se cuenta que el sultán Ad Ibn Anza sorprendió a su esclavo Manú Al Argada sustrayéndole una preciosa vajilla de plata, regalo del califa de Damasco. Tras un juicio sumarísimo el tribunal, suponiendo que así halagaba a su señor, impuso al desleal siervo la pena de muerte que debía ejecutarse al amanecer del día siguiente. Cuando el sultán conoció la sentencia, lejos de alegrarse, se puso de un humor de mil demonios ya que su gran pasión eran los juegos de adivinanzas y Manú Al Argada tenía un enorme ingenio para su inventarlos. Decidió, por ello, dar una oportunidad al condenado y le hizo la siguiente proposición: “Queda apenas un día y su correspondiente noche para ejecutar la sentencia del tribunal de palacio, si eres capaz enseñarme un nuevo juego lo suficientemente interesante como para mantenerme todo ese tiempo concentrado en él olvidaré firmar la sentencia y quedará condonada tu pena”

Manú no se hizo esperar, pidió una bolsa con 20 perlas, se tapó los ojos y, dirigiéndose a Ad Ibn Anza, le dijo: “Señor sacad un número de perlas comprendido entre 1 y 10 de la bolsa y guardadlas en el bolsillo derecho de vuestro vestido. Luego, sumad las cifras del número de perlas que quedan en la bolsa y extraed de ella el número resultante depositándolas en vuestro bolsillo izquierdo. Por último, tomad las que os parezca de las que aún queden en la bolsa  y guardadlas en vuestra mano derecha de forma que yo no pueda verlas y ordenad que me destapen los ojos”

Así se hizo y Manú, una vez que hubo contado las perlas que había en la bolsa, acertó cuántas guardaba el sultán en su mano. Éste, sorprendido, quiso repetir el juego una y otra vez, primero, para ver si se trataba de un  acierto casual y, luego, por ver si averiguaba el truco empleado. Así fueron transcurriendo las horas, llegó el alba del siguiente día continuaron enfrascados en la adivinanza hasta la misma noche. Burlado, finalmente, su trágico destino, el desdichado esclavo señaló al sultán que su juego se basaba en un sencillo truco aritmético. ¿Podrías explicar detalladamente en qué consiste ese truco aritmético?

 

SOLUCIÓN

Sea n el número de perlas, comprendido entre 1 y 10, que extrae en primer lugar de la bolsa, quedarán: 20 – n = 10 + 10 –n, donde 10 – n será un número comprendido entre 1 y 10.

Si suma las cifras del número resultante, tendremos: 1 + 10 – n = 11 – n.

Si quitamos esta cantidad a las que quedan en la bolsa, se obtiene:

20 – n – (11 – n) = 9

Por lo tanto, una vez que sabe que, tras la segunda extracción, quedan siempre en la bolsa 9 perlas bastará contar cuántas quedan en ella tras la tercera extracción para saber cuántas tiene en su mano.